\subsection{Dimensionamento dos actuadores passivos}

Tal como referido anteriormente, durante a fase de desenvolvimento da articulação do tronco era evidente a necessidade de se aplicar os conceitos de actuação híbrida em duas das suas juntas. Correctamente dimensionados, estes actuadores permitirão auxiliar os servomotores em movimentos onde seja necessário o fornecimento de binários elevados reduzindo assim o consumo instantâneo dos motores. 

Desta forma, surge a necessidade de se efectuar um estudo dos esforços desenvolvidos durante a execução dos movimentos da articulação do tronco, por forma a se calcular o intervalo em que a constante elástica se encontra correctamente dimensionada. Se o sub-dimensionamento dos elementos utilizados não trará qualquer beneficio à estrutura, já o seu sobre-dimensionamento implicará a necessidade de fornecer maiores binários por parte dos motores, por forma a contrariar os esforços realizados pelos elementos passivos.

A constante elástica dos elásticos é dado pela seguinte expressão:

\begin{equation}
F_{elastica} = k . e
\label{eq1}
\end{equation}

Onde $F_{elastica}$ é a força elástica exercida no actuador (elástico), $k$ a constante elástica, e $e$ a deformação que ocorre no elástico $e=(e_f - e_i)$.

Por sua vez a $F_{elastica}$ é calculada a partir do equilíbrio de um corpo rígido onde:

\begin{equation}
\sum \overrightarrow{M_{O}} = \overrightarrow{0}
 \label{eq2}
\end{equation}

\subsubsection{Inclinação Lateral}

Para o dimensionamento dos actuadores passivos referentes ao movimento de inclinação lateral, foi considerada a posição vertical (Figura \ref{dim_pass_tron2} à esquerda) como sendo a posição inicial, e a posição final nos $45\,^{\circ}$ (Figura \ref{dim_pass_tron2} à direita). Foi também considerado que o grau de liberdade referente ao movimento de abdução/adução do ombro ($\theta_{2}$) encontra-se livre, ou seja, por cada incremento no ângulo da junta do troco é também incrementado no ângulo do ombro mantendo o braço na sua posição vertical.

\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=120mm]{capitulo4/imagens/dim_pass_trc2_12}
\caption[Posições do centro massa: inicial e final]{Posições do centro massa: inicial e final.}
\label{dim_pass_tron2}
\end{figure}

De uma análise inicial é possível verificar pelo diagrama de corpo livre (\ref{dim_pass_dcl}) que os valores de $r_{cm}$ não são constantes, para além de que a direcção do vector $\overrightarrow{F}_{elástica}$ varia consoante o ângulo de inclinação lateral. Tendo em conta este aspecto, é necessário efectuar um levantamento da posição do centro de massa para cada ângulo de inclinação lateral, por forma a se determinar os valores de $r_{cm}$. Desse levantamento resulta que os valores do $r_{cm}$ variam entre $109.99mm$  e $112.00mm$. Estes dados foram obtidos através do \textit{software} de CAD 3D, podendo ser consultados no anexo \ref{anexod}.

%\vspace{3mm}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=85mm]{capitulo4/imagens/dim_pass_dcl11}
\caption[Diagramas de corpo livre]{Diagramas de corpo livre. Posição inicial e final do tronco.}
\label{dim_pass_dcl}
\end{figure}

Aplicando a equação \ref{eq2} no ponto de origem O (eixo de rotação), tem-se que:

\begin{displaymath}
- r_{elástico} \times F_{elástico} + r_{cm} \times F = 0
\end{displaymath}

Simplificando, tem-se que:

\begin{displaymath}
- r_{elástico} . F_{elástico} . \sin(\theta) + r_{cm}(\gamma) . \cos(\alpha) . F   = 0
\end{displaymath}

A força elástica é calculada pela expressão:

\begin{displaymath}
F_{elástico}  = \frac{r_{cm}(\gamma) . \cos(\alpha) . F}{r_{elástico} .  \sin(\theta)}
\end{displaymath}

Onde $r_{cm}(\beta)$ é a distância entre a origem e o centro de massa para cada posição ângular $\beta$ entre $0\,^\circ$ e $45\,^\circ$. O angulo $\alpha$  varia entre $89.53\,^\circ$ e $41.56\,^\circ$ enquanto que $\theta$ varia entre $67.60\,^\circ$ e $38.55\,^\circ$.

Substituindo a equação \ref{eq1} obtém-se a função que permite calcular o valor da constante elástica. Assim tem-se que:

\begin{displaymath}
k = \frac{r_{cm}(\gamma) . F . \cos(\alpha)}{r_{elástico} .  \sin(\theta) . e(\gamma)}
\end{displaymath}

Onde $e=(e_f - e_i)$ varia entre o valor $37.76$ e $73.40$, considerando que o valor inicial $e_i$ é de $40mm$. Desta forma é possível retirar que o valor de $k$, para esta junta, se situa entre os valores de $16.25$ e $934.70$ $N.m^{-1}$. Para o dimensionamento dos actuadores passivos necessários, para se efectuar o movimento de inclinação lateral, no sentido oposto ao acima descrito, consideram-se os mesmos valores obtidos de $k$. Esta simplificação é válida pois a estrutura é praticamente simétrica, ou seja, quer o ponto de aplicação dos elásticos quer a variação do vector  $\overrightarrow{F}_{elástica}$ são as mesmas. O único aspecto que difere é a posição do centro de massa. No entanto, esta variação é manifestamente insignificante $\approx 0.47\,^\circ$ de diferença no sentido oposto.

\subsubsection{Flexão/Extensão}

Tal como no dimensionamento dos actuadores passivos referentes ao movimento de inclinação lateral, foi considerada a posição vertical (Figura \ref{dim_pass_tron1} à esquerda) como sendo a posição inicial, e a posição final nos $45\,^{\circ}$ (Figura \ref{dim_pass_tron1} à direita). Foi também considerado que o grau de liberdade referente ao movimento de flexão/extensão do ombro ($\theta_{1}$) encontra-se livre, ou seja, por cada incremento no ângulo da junta do tronco é também incrementado no ângulo do ombro mantendo os membros superiores nas suas posições verticais.

\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=60mm]{capitulo4/imagens/dim_pass_trc1_12}
\caption[Posições do centro massa: inicial e final]{Posições do centro massa: inicial e final.}
\label{dim_pass_tron1}
\end{figure}

Da análise efectuada ao movimento desta articulação é possível verificar que para este caso, para além da direcção do vector $\overrightarrow{F}_{elástica}$ variar consoante o ângulo de flexão a própria geometria do actuador passivo muda. Este facto leva a que seja necessário estudar o comportamento da força elástica, que actua no ponto de apoio A (Figura \ref{dim_pass_dcl2}). Na realidade, o ponto A é um apoio simples, cuja função é a de servir de guia para os elementos passivos. No entanto, por forma a simplificar o cálculo, considerou-se estar a actuar nesta junta, dois elementos passivos independentes mas com módulos de elasticidade iguais.

\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=100mm]{capitulo4/imagens/dim_pass_dcl21}
\caption[Diagramas de corpo livre]{Diagramas de corpo livre. Posição inicial e final do tronco.}
\label{dim_pass_dcl2}
\end{figure}

Aplicando a equação \ref{eq2} no ponto de origem O (eixo de rotação), tem-se que:

\begin{displaymath}
- r_{elástico} \times F_{elástico} - r_{cm} \times F = 0
\end{displaymath}

\begin{displaymath}
- r_{elástico} . F_{elástico} . \sin(\beta) - r_{cm}(\gamma) . \cos(\alpha) . F   = 0
\end{displaymath}

A força elástica é calculada pela expressão:

\begin{displaymath}
F_{elástico}  = -\frac{r_{cm}(\gamma) . \cos(\alpha) . F}{r_{elástico} .  \sin(\beta)}
\end{displaymath}

Onde $r_{cm}(\gamma)$ é a distância entre a origem e ao centro de massa para cada posição $\gamma$ entre $0\,^\circ$ e $45\,^\circ$.

\begin{displaymath}
F_{elástico}  = {F_e}_{1} + {F_e}_2.\cos(\theta)
\end{displaymath}

Pela equação \ref{eq1} tem-se que:

\begin{displaymath}
F_{elástico}  = {k_e}_{1}.{e}_{1}(\gamma) + {k_e}_{2}.{e}_{2}(\gamma).\cos(\theta)
\end{displaymath}

Como ${k_e}_{1}={k_e}_{2}$, vem que:

\begin{displaymath}
F_{elástico}  = k . ({e}_{1}(\gamma) + {e}_{2}(\gamma).\cos(\theta))
\end{displaymath}

Onde $e_1=({e_1}_f - {e_1}_i)$ e $e_2=({e_2}_f - {e_2}_i)$. O valor considerado de $e_i$ para os dois casos foi $20mm$. O ângulo $\alpha$  varia entre $84.67\,^\circ$ e $135.62\,^\circ$, o ângulo $\beta$ varia entre $32.26\,^\circ$ e $25.86\,^\circ$ e o ângulo $\theta$ varia entre $44.99\,^\circ$ e $35.90\,^\circ$.

Desta forma, vem que o valor do modulo de elasticidade é dado por:

\begin{displaymath}
k  = -\frac{r_{cm}(\gamma) . \cos(\alpha) . F}{r_{elástico} .  \sin(\beta) . ({e}_{1} + {e}_{2}.\cos(\theta))}
\end{displaymath}

Efectuado o cálculo, é possível retirar que o valor de $k$, para esta junta, situa-se entre os valores de $21.53$ (para $\gamma=25.86\,^\circ$) e $1939.28$ $N.m^{-1}$.

Como o sistema implementado nesta junta prevê a utilização de dois actuadores em paralelo, é necessário determinar qual o valor de $k$ correspondente a cada actuador. Pela associação de molas em paralelo temos que:

\begin{displaymath}
k_{eq}  = k_{1} + k_2
\end{displaymath}

Como $k_1=k_2$, temos que:

\begin{displaymath}
k_{1}  = \frac{k_{eq}}{2}
\end{displaymath}

Desta forma, os valores finais para a constante elástica a utilizar neste sistema situam- -se entre $10.77$ e $969.64$ $N.m^{-1}$.

Os resultados obtidos (Tabela \ref{res_dim_passivos}) são os valores para os quais os actuadores passivos são capazes de suster a massa da estrutura do tronco e membros superiores numa determinada posição, ou seja, para que os actuadores passivos possam cumprir com os objectivos propostos, os valores de $k$ devem de ser superiores. No entanto, deverá ter-se sempre em consideração que a utilização de valores de $k$ muito superiores, poderá levar à necessidade de fornecer maiores binários por parte dos servomotores, por forma a contrariar a força elástica.


\begin{table}[h!]
\centering
\caption{Resultados dos cálculos efectuados para $k$ }
\label{res_dim_passivos}
\begin{tabular}{r r | c c c c | c c c l}
\hline
&			&\multicolumn{4}{c}{Inclinação lateral}	&\multicolumn{4}{|c}{Flexão/Extensão}\\
&$\gamma$	&$0\,^\circ$&$15\,^\circ$&$30\,^\circ$&$45\,^\circ$	&$0\,^\circ$&$15\,^\circ$&$30\,^\circ$&$45\,^\circ$\\	
\hline		
$k$&		&13.25&371.90&651.79&934.70&-145.69&288.44&646.55&969.64\\
		
		
%		
%
%
%&$m$				&					&0.861&0.799&0.653&0.653&3.000&3.000&0.549&$[kg]$\\
%												$F$				&					&0.845&0.784&0.641&0.641&2.943&2.943&0.539&$[N]$\\
%\hline
%&$r_{cm}$			&					&0.063&0.073& &0.027&0.127&0.084&0.027&$[kg]$\\
%								  				$F_{cm}$			&					&3.541&2.933& &0.481&29.43&29.43&0.481&$[N] $	\\
%												$r_{massa}$		&					&0.212&0.212& &0.089&\multicolumn{2}{|c|}{0}&0.089&$[m] $\\
%								  				$F_{massa}$		&					&4.905&4.905& &4.905&\multicolumn{2}{|c|}{0}&4.905&$[N] $\\
%												$\tau_{estático}$	&					&1.263&1.254& &0.450&3.738&2.472&0.450&$[N.m]$\\
%\hline
%									&					&2.022&2.011&0.011&0.582&6.165&3.737&0.577&$[N.m]$\\
%																	&					&20.62&20.50&0.112&5.935&62.84&38.09&5.884&$[kg.cm]$\\
%\\

\end{tabular}
\end{table}





%Foram efectuados cálculos para cada incremento do ângulo.
%
%\begin{displaymath}
%\left\lbrace\begin{array}{c c c}{{r_x}_{elástico}}\\ {{r_y}_{elástico}}\\ {{r_z}_{elástico}}\end{array}\right\rbrace \times \left\lbrace\begin{array}{c c c}{{F_x}_{elástico}}\\ {{F_y}_{elástico}}\\ {{F_z}_{elástico}}\end{array}\right\rbrace + \left\lbrace\begin{array}{c c c}{{r_x}_{cm}}\\ {-{r_y}_{cm}}\\ {{r_z}_{cm}}\end{array}\right\rbrace \times \left\lbrace\begin{array}{c c c}{\cancelto{0}{F_x}}\\ {\cancelto{0}{F_y}}\\ {-F_z}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace\begin{array}{c c c}{0}\\ {0}\\ {0}\end{array}\right\rbrace
%\end{displaymath}
%
%\begin{displaymath}
%\left\lbrace\begin{array}{c c c}{{r_x}_{elástico}}\\ {{r_y}_{elástico}}\\ {{r_z}_{elástico}}\end{array}\right\rbrace \times \left\lbrace\begin{array}{c c c}{{F_x}_{elástico}}\\ {{F_y}_{elástico}}\\ {{F_z}_{elástico}}\end{array}\right\rbrace + \left\lbrace\begin{array}{c c c}{r_y}_{cm}.{F_z}\\ {r_x}_{cm}.{F_z}\\ {0}\end{array}\right\rbrace = \left\lbrace\begin{array}{c c c}{0}\\ {0}\\ {0}\end{array}\right\rbrace
%\end{displaymath}