\subsubsection{Formulação}

Para se determinar os momentos que cada motor deverá fornecer para se realizar os movimentos pretendidos, é necessário efectuar os cálculos dos binários necessários para se vencer as forças de atrito, a inércia e também os binários necessários para que seja possível suster o equilíbrio do sistema numa determinada posição.

Por forma a simplificar a leitura deste trabalho, e tendo em consideração que os cálculos efectuados para cada junta são semelhantes, nesta secção será descrita a formulação de base para os cálculos acima referidos. Posteriormente serão descritas as especificações relativas a cada junta e no fim serão apresentados todos os resultados por forma a facilitar sua comparação.\\


O calculo do binário necessário para seja possível vencer as forças de atrito é dado pela seguinte expressão:

\begin{displaymath}
\tau_{atrito} = r \times{F}
\end{displaymath}

Onde $\tau\,_{atrito}$ é o binário necessário para vencer o atrito, $r$ é a distancia entre o eixo de rotação da junta do cotovelo e o ponto de aplicação da força de atrito e $F$ é a força de atrito. Por sua vez a força de atrito é determinada pela expressão:

\begin{displaymath}
F = \mu \times{P}
\end{displaymath}

Onde $F$ é a força de atrito, o $\mu$ é o valor do coeficiente de atrito estático (0.10), o $P$ o peso da estrutura em causa ($P=m\times{g}$, com $g=9.81$ $m.s\,^{-2}$). A massa $m$ é a massa total do sistema a considerar.\\
 
 
Para a determinação do binário necessário para se vencer a inércia, considerou-se que o movimento de $360\,^{\circ}$ é realizado em $2s$, e que esta velocidade é atingida ao fim de $0.1s$.

Desta forma, determina-se que a velocidade angular é dada por:

\begin{displaymath}
\omega = {\frac{2\Pi}{2}}
       \approx 3.14rad.s^{-1} 
\end{displaymath}

A aceleração angular é dada por:

\begin{displaymath}
\dot{\omega} = \frac{\omega}{\Delta t}
       = \frac{3.14}{0.1} \approx 31.4rad.s^{-2} 
\end{displaymath}

O binário necessário para impor a aceleração angular determinada anteriormente é dado por:

\begin{displaymath}
\tau_{dinâmico} = J \times{\dot{\omega}}
\end{displaymath}

Onde $J$ é o momento de inércia e $\dot{\omega}$ a aceleração angular, calculada anteriormente. De forma a ser possível calcular o $J$ optou-se por simplificar o problema, considerando todos componentes do sistema, como sendo massas pontuais. Desta forma o $J$ pode ser calculado da seguinte forma:

\begin{displaymath}
 J = \sum\limits_{k=i}^n m_{i} r_{i}^2 
\end{displaymath}

O valor $r$ é a distancia entre o eixo de rotação e o centro de massa de cada componente. \\

Posteriormente é necessário calcular o binário que o servomotor deverá desenvolver por forma a conseguir sustentar uma carga aplicada numa determinada posição. Este valor pode ser calculado pela seguinte equação:

\begin{displaymath}
\tau_{estático} = \sum\limits_{k=i}^n r_{i} \times{F_{i}}
\end{displaymath}

Onde $F$ é a força que actua no respectivo centro de massa e $r$ é o comprimento entre o eixo de rotação e o centro de massa.

Por último é realizado o cálculo do valor do binário que o servomotor deverá fornecer para que seja possível efectuar os movimentos pretendidos.

Para este cálculo considerou-se que o valor final é obtido através da soma de todos os binários calculados anteriormente. Ao optar por esta forma de cálculo está-se a ter em conta todos os movimentos possíveis da junta, isto é, tem-se em consideração os binários necessários para vencer o atrito e a inércia para qualquer que seja o ponto de início do movimento. Desta forma, tem-se que o binário final ($\tau_{motor}$) é dado por:

\begin{displaymath}
\tau_{motor} = \tau_{atrito} + \tau_{dinâmico} + \tau_{estático}
\end{displaymath}